Niemand sagt, dass dein f invertierbar sein muss. Von daher funktioniert dein erster Ansatz schonmal nicht, die Existenz von f^-1 kannst du nicht ohne Weiteres voraussetzen.
(Übrigens stimmt die Aussage "Eine Matrix/Abb. ist genau dann diagonalisierbar, wenn sie n verschiedene Eigenwerte hat" nicht. Korrekt ist "Wenn eine Matrix/Abb. n verschiedene EW hat, ist sie diagonalisierbar". Die Rückrichtung ist falsch.)
Was mit dem Tipp gemeint ist:
Sei v Eigenvektor von f zum Eigenwert c. Dann gilt:
f(v) = c*v
f²(v) = f(f(v)) = f(c*v) = c*f(v) = c²*v
Da nun f(v) = f²(v) gilt, ist also insbesondere c*v = c²*v, was c = c² impliziert. Die Abbildung kann also nur die Eigenwerte 0 und 1 besitzen.
Die Beobachtung, dass jeder Bildvektor auch ein Eigenvektor zum EW 1 ist, ist korrekt. Das bedeutet also Im(f) = E(1) (E(1) ist der Eigenraum zum Eigenwert 1). Der Eigenraum zum Eigenwert 0 ist offensichtlich der Kern von f (nach Definition), also Kern(f) = E(0)
Den Rest mal in Spoiler-Tags, weil jetzt wirklich nicht mehr viel fehlt:
Spoiler - markieren, um zu lesen:
Dimensionssatz:
dim V = dim Kern(f) + dim Bild(f) = dim E(0) + dim E(1)
Da es außer 0 und 1 keine anderen Eigenwerte geben kann, spannen die Eigenvektoren von f also den gesamten Raum auf, daher ist f diagonalisierbar. (DAS ist übrigens ein notwendiges und hinreichendes Kriterium zur Diagonalisierbarkeit)
.. wenn ja wie weiter machen? 
