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Wenn man e^x ableitet, kommt e^x raus, das ist eigentlich das einzige besondere. Und das ist in so vielen Fällen so unglaublich praktisch.
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| | Zitat von Rudirogdt
hmmmm also den artikel zu der eulerischen zahl kapier ich nicht sooooo ganz.
woraus bildet sich diese zahl? | |
Hatte irgendwas mit Zinseszins zu tun.
Ich meine man lies da auch wieder was gen Unendlich laufen.
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Du hast wohl kein bißchen Vorstellungsvermögen? Drücke doch mal Ableitungen von Potenzen beliebiger Basis aus.
Zudem hat e^x eine sehr gleichmäßige Taylorreihen-Entwicklung (aus der sich auch die Eigenschaft ergibt, daß sie beim Ableiten identisch bleibt). Man kann in den Exponenten auch andere Dinge als reelle Zahlen stecken und erhält interessante Ergebnisse. Z.B. mit komplexen Zahlen oder Matrizen oder Operatoren oder Weißdergeierwas. Man kann ganze Algebren damit aufbauen.
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| | Zitat von Schalentier
Du hast wohl kein bißchen Vorstellungsvermögen? Drücke doch mal Ableitungen von Potenzen beliebiger Basis aus.
Zudem hat e^x eine sehr gleichmäßige Taylorreihen-Entwicklung (aus der sich auch die Eigenschaft ergibt, daß sie beim Ableiten identisch bleibt). Man kann in den Exponenten auch andere Dinge als reelle Zahlen stecken und erhält interessante Ergebnisse. Z.B. mit komplexen Zahlen oder Matrizen oder Operatoren oder Weißdergeierwas. Man kann ganze Algebren damit aufbauen. | |
hmmm also mein Problem ist, dass ich das in etwa so gut verstehe wie meine Freunde, wenn ich denen etwas über Computer erzähle  ( =null) 
also die ausdrucksweise... ableiten? ( = hä )
potenzen beliebiger basis ausdrücken? hmmm aha
aber schonmal danke
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[Dieser Beitrag wurde 2 mal editiert; zum letzten Mal von Rudirogdt am 07.05.2005 0:25]
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Nur mal zum Sicherheit, mit Ableiten meint ihr zB
x³ --1.Ableitung--> 3x² --2.Ableitung--> 6x --3.Ableitung--> 6 usw.
?
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Kannst dir vielleicht einfach mal das anschauen.
Ableiten? Sollte in der *grübel* 11ten Klasse vorkommen? Vereinfacht gesagt, berechnet man so die Steigung eines Graphen.
Das mit den Potenzen meint nur, dass du a hoch b immer auch durch e ausdrücken kannst. Und das hat tatsächlich Vorteile. 
@Essen: Du mieser kleiner... Zwischenposter! 
Ja, das meint "Ableiten".
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[Dieser Beitrag wurde 1 mal editiert; zum letzten Mal von Cousin Itt am 07.05.2005 0:31]
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| | Zitat von Schalentier
Du hast wohl kein bißchen Vorstellungsvermögen? Drücke doch mal Ableitungen von Potenzen beliebiger Basis aus.
Zudem hat e^x eine sehr gleichmäßige Taylorreihen-Entwicklung (aus der sich auch die Eigenschaft ergibt, daß sie beim Ableiten identisch bleibt). Man kann in den Exponenten auch andere Dinge als reelle Zahlen stecken und erhält interessante Ergebnisse. Z.B. mit komplexen Zahlen oder Matrizen oder Operatoren oder Weißdergeierwas. Man kann ganze Algebren damit aufbauen. | |
Mein liebstes e^x ist wenn x = ln y ...
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| | Zitat von Cousin Itt
Kannst dir vielleicht einfach mal das anschauen.
Ableiten? Sollte in der *grübel* 11ten Klasse vorkommen? Vereinfacht gesagt, berechnet man so die Steigung eines Graphen.
Das mit den Potenzen meint nur, dass du a hoch b immer auch durch e ausdrücken kannst. Und das hat tatsächlich Vorteile.
@Essen: Du mieser kleiner... Zwischenposter!
Ja, das meint "Ableiten". | |
öh versteh ich das in beispiel 1 richtig das es das maximale wachstum in die kürzst möglichsten zeit darstellt ?
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| | Zitat von EssenmitSosse
Nur mal zum Sicherheit, mit Ableiten meint ihr zB
x³ --1.Ableitung--> 3x² --2.Ableitung--> 6x --3.Ableitung--> 6 usw. | |
Ja.
Genau das ist der Knackpunkt. Angenommen, du willst dir einen Ausdruck konstruieren, der abgeleitet sich selbst ergibt.
Probieren wir mal einfach eine Summe aus Potenzen.
f(x) = c0 + c1 x + c2 x² + c3 x³ + ...
f'(x) = c1 + 2 c2 x + 3 c3 x² + 4 c4 x³ + ...
Nun, wenn man unendlich oft ableitet, muß offenbar die Reihe unendlich lang sein, daß immer wieder weitere Glieder nachrutschen, weil ja jeweils die Konstante links rausfällt und alle Glieder um eins nach links rutschen.
Dann muß offenbar gelten 2 c2 = c1, 3 c3 = c2, 4 c4 = c3 ...
Also n * c\n = c\(n-1). Wenn wir c0 mal als eins wählen, bedeutet das rückwärts, daß c1 = 1, c2 = 1 * 1/2, c3 = 1 * 1/2 * 1/3, etc..., also c\n = 1/n! (! ist die Fakultät, also n! = 1 * 2 * 3 * ... * n).
Das tolle ist auch, daß die Konstanten nach rechts hin immer kleiner werden. Und zwar schneller als jede Potenz. Und das ist auch gut so, denn sonst würde der Term, der ja unendlich lang ist, divergieren, und so strebt er gegen einen nicht-unendlichen Limes.
Diese Funktion, die wir gefunden haben, gibt also abgeleitet sich selbst. Mit der Bedingung haben wir sie konstruiert.
Jetzt läßt sich weiterhin zeigen, daß für ganzzahlige n gilt f(n * x) = f(x) ^ n (nicht näher aufgeführt, geht mit Binomialkoeffizienten und so). Um genau zu sein, läßt sich f(x) * f(y) = f(x+y) recht einfach zeigen, der Rest ergibt sich dann automatisch. Damit haben wir eine tolle Eigenschaft der eben gefunden Funktion festgestellt. Und zwar, daß sie sich verhält wie eine Exponentiaton. f(x) = e ^ x. Die Zahl e ergibt sich gerade, wenn man für x die 1 einsetzt. e = f(1). Also e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ...
Daß diese Darstellung der Exponentiation nicht nur für ganzzahlige Exponenten funktioniert, sondern sogar für beliebige Exponenten, ist eine der großen Errungenschaften der Eulerschen Zahl.
Es wirkt auf den ersten Blick komplex, und doch stellt sie einen Bezug zwischen elementarsten Dingen der Mathematik her und ermöglicht einen viel tieferen Einblick. Mathematik ist schon die elementarste aller Wissenschaften.
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[Dieser Beitrag wurde 4 mal editiert; zum letzten Mal von Schalentier am 07.05.2005 2:04]
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| | Zitat von [AlphA]Bierkoenig
Ich meine mich zu erinnern, dass Mathe größtenteils auf Axiomen aufgebaut ist. Wäre davon eins falsch....hätten wir ein Problem | |
Ein Axiom kann per definitionem schonmal nicht "falsch" sein, es ist ja nur eine Grundannahme für gewisse Aussagen, im Sinne von "Wenn Axiom A gilt, dann folgt daraus Aussage B". Wenn der Beweis mathematisch korrekt ist was sich oft sehr leicht überprüfen lässt dann kann da nichts "falsch" sein, denn selbst wenn A einmal nicht gelten sollte dann hat das ja immer noch nichts mit der Korrektheit unserer Aussage zu tun, denn wir betrachten ja nur den Fall dass unser Axiom gilt.
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| | Zitat von TemplaR_AGEnt
| | Zitat von Buddel
warum nicht templar? | |
Der Mensch hat den Kreis nicht erfunden... und die Zahl Pi ist nunmal ein Verhältnis, das aus der elementaren Geometrie entsteht.
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hat das nicht Newton zusammen mit der Gravitation erfunden? 
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| | Zitat von -Delta-
Ein Axiom kann per definitionem schonmal nicht "falsch" sein, es ist ja nur eine Grundannahme für gewisse Aussagen, im Sinne von "Wenn Axiom A gilt, dann folgt daraus Aussage B". Wenn der Beweis mathematisch korrekt ist was sich oft sehr leicht überprüfen lässt dann kann da nichts "falsch" sein, denn selbst wenn A einmal nicht gelten sollte dann hat das ja immer noch nichts mit der Korrektheit unserer Aussage zu tun, denn wir betrachten ja nur den Fall dass unser Axiom gilt. | |
Allerdings kann man nicht beliebige Axiome miteinander verknüpfen - die Axiome müssen untereinander widerspruchsfrei sein. Wenn jetzt irgendeines der Körperaxiome sich nicht mit den Anordnungsaxiomen vertragen würde, DANN hätten wir ALLERDINGS ein Problem...
Außerdem, auch wenn Schale sagt, es sei die elementarste Wissenschaft: In dieser Hinsicht weht seit Gödel ein Hauch von Verzweiflung und tiefster Trauer durch die Mathematik...
You need a reason to live! You don't need excuses to die!
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| | Zitat von Necabo
Fasziniert starren Mathematiker seit Jahrhunderten auf die Zahl Pi.[...] | |
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| | Zitat von Wraith of Seth
Allerdings kann man nicht beliebige Axiome miteinander verknüpfen - die Axiome müssen untereinander widerspruchsfrei sein. Wenn jetzt irgendeines der Körperaxiome sich nicht mit den Anordnungsaxiomen vertragen würde, DANN hätten wir ALLERDINGS ein Problem... | |
Selbst dann hätten wir kein Problem, man könnte immer noch Folgerungen aus den Axiomen ableiten und diese wären absolut korrekt, man könnte eben keine Menge (außer der leeren ) konstruieren auf die diese Aussagen zutreffen aber das tut ihrer Korrektheit ja keinen Abbruch. Wenn jetzt eins der Axiome über das die reellen Zahlen definiert sind einem der Ordnungsaxiome widersprechen würde dann würde das letztendlich ja nur bedeuten dass die reellen Zahlen eben nicht geordnet wären. Man könnte dennoch die beiden Axiome miteinander verknüpfen und damit vollkommen korrekte Aussagen erschaffen (Prädikatenlogik: Die Aussage "Aus A folgt B" ist für den Fall A=0 immer wahr), ob sie nun besonders sinnvoll sind ist eine andere Frage
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| | Zitat von -Delta-
Selbst dann hätten wir kein Problem, man könnte immer noch Folgerungen aus den Axiomen ableiten und diese wären absolut korrekt, man könnte eben keine Menge (außer der leeren ) konstruieren auf die diese Aussagen zutreffen aber das tut ihrer Korrektheit ja keinen Abbruch. Wenn jetzt eins der Axiome über das die reellen Zahlen definiert sind einem der Ordnungsaxiome widersprechen würde dann würde das letztendlich ja nur bedeuten dass die reellen Zahlen eben nicht geordnet wären. Man könnte dennoch die beiden Axiome miteinander verknüpfen und damit vollkommen korrekte Aussagen erschaffen (Prädikatenlogik: Die Aussage "Aus A folgt B" ist für den Fall A=0 immer wahr), ob sie nun besonders sinnvoll sind ist eine andere Frage | |
Wir hätten immer noch ein Problem, da wir als Menschen doch irgendwie mit geordneten Zahlen agieren... Wie auch immer jetzt die Mathematik damit umgeht.
"Also, Fritzchen, welche Zahl ist davon größer? Zwei oder drei?" (Man beachte die Auswahlfrage, die Pädagogen empfehlen!)
"Mein Papa sagt aber, dass es kein größer und kleiner bei Zahlen gibt...!"
" "
You need a reason to live! You don't need excuses to die!
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| | Zitat von Wraith of Seth
Wir hätten immer noch ein Problem, da wir als Menschen doch irgendwie mit geordneten Zahlen agieren... Wie auch immer jetzt die Mathematik damit umgeht.
"Also, Fritzchen, welche Zahl ist davon größer? Zwei oder drei?" (Man beachte die Auswahlfrage, die Pädagogen empfehlen!)
"Mein Papa sagt aber, dass es kein größer und kleiner bei Zahlen gibt...!"
"" | |
Nein wir hätten kein Problem denn die reellen Zahlen wären ja nicht geordnet und damit wäre es wirklich nicht sinnvoll von größer oder kleiner zu sprechen und es würde wohl auch keine anschaulich korrekte Definition einer Ordnung geben.
Du kannst ja nicht einfach nur auf der Grundlage "Wenn das nun so wäre..." argumentieren und dabei die Auswirkungen unserer abgewandelten Voraussetzungen ignorieren
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Ich sollte aufhören - langsam merke ich immer mehr, dass ich mich statt auf's Abi lieber auf AnaI hätte konzentrieren sollen. Die Diskussionen damit sind halt viel spaßiger...D:
You need a reason to live! You don't need excuses to die!
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| | Zitat von Wraith of Seth
Man beachte die Auswahlfrage, die Pädagogen empfehlen! | |
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Zur Volksverdummung!
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Gestern in "Was guckst du!?" aufgeschnappt: Pädagogen empfehlen statt Fragen wie "Was willst du essen?" lieber Fragen wie "Blumenkohl oder Rosenkohl?" zu stellen. Die armen Kinder wären ja völlig überfordert, wenn man ihnen eine offene Frage stellt...
You need a reason to live! You don't need excuses to die!
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| | Zitat von Wraith of Seth
Gestern in "Was guckst du!?" aufgeschnappt: Pädagogen empfehlen statt Fragen wie "Was willst du essen?" lieber Fragen wie "Blumenkohl oder Rosenkohl?" zu stellen. Die armen Kinder wären ja völlig überfordert, wenn man ihnen eine offene Frage stellt...
You need a reason to live! You don't need excuses to die! | |
Was am meisten zur Volksverdummung beiträgt ist neben TV Total auch diese Sendung...
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| | Zitat von [Dicope]
Was am meisten zur Volksverdummung beiträgt ist neben TV Total auch diese Sendung... | |
Es ist nicht gerade Schmidt, ich weiß. Aber zwischen Kant und Parzival brauche ich auch mal was zum geistigen Dümpeln...
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| | Zitat von Wraith of Seth
Aber zwischen Kant und Parzival brauche ich auch mal was zum geistigen Dümpeln...
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Stock ausm Arsch!
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Unschuld!
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| | Zitat von Necabo
Stock ausm Arsch! | |
Ich habe nicht angefangen! Er war's! Er war's!
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| | Zitat von Rudirogdt
woraus bildet sich diese zahl? | |
Grenzwert der Folge a(n)=(1/n+1)^n für n->unendlich
Oder was wolltest Du wissen?
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| | Zitat von Flashhead
Grenzwert der Folge a(n)=(1/n+1)^n für n->unendlich
Oder was wolltest Du wissen? | |
Die Definition ist zwar schön und kurz, zerstört aber irgendwie das Wesen der Eulerschen Zahl.
€: Wobei zur Verteidigung zu sagen ist, daß diese Darstellung mit Hilfe der Binomialkoeffizienten und des Grenzübergangs recht schnell in die Reihendarstellung übersetzbar ist.
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[Dieser Beitrag wurde 1 mal editiert; zum letzten Mal von Schalentier am 07.05.2005 14:28]
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omg, i love this wallpaper - it´s perfect
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[Dieser Beitrag wurde 1 mal editiert; zum letzten Mal von eupesco am 07.05.2005 14:39]
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| | Zitat von Schalentier
Die Definition ist zwar schön und kurz, zerstört aber irgendwie das Wesen der Eulerschen Zahl.
€: Wobei zur Verteidigung zu sagen ist, daß diese Darstellung mit Hilfe der Binomialkoeffizienten und des Grenzübergangs recht schnell in die Reihendarstellung übersetzbar ist. | |
Wenn ich ehrlich bin, ist diese Reihe und der Einsatz von e in Wachstumsfunktionen alles, was ich über e weiß .
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| | Zitat von Flashhead
| | Zitat von Rudirogdt
woraus bildet sich diese zahl? | |
Grenzwert der Folge a(n)=(1/n+1)^n für n->unendlich
Oder was wolltest Du wissen? | |
joa so in etwa
wenn ich jetzt noch lebensnahe beispiele vorgestischt bekommen würde, würde ich es auch evetuell verstehn
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| | Zitat von Schalentier
Die Definition ist zwar schön und kurz, zerstört aber irgendwie das Wesen der Eulerschen Zahl.
€: Wobei zur Verteidigung zu sagen ist, daß diese Darstellung mit Hilfe der Binomialkoeffizienten und des Grenzübergangs recht schnell in die Reihendarstellung übersetzbar ist. | |
Ich revidiere meine Aussage. Ich habe eben nochmal drüber nachgedacht. Die Darstellung e = lim\n->oo (1 + 1/n)^n hat eine ganz andere fundamentale Bedeutung.
Und zwar denke ich da z.B. an Drehalgebren wie z.B. Drehoperatoren in der Physik.
Eine kontinuieriche Drehung läßt sich aus dem Drehimpulsoperator durch Exponentiation gewinnen.
Die fundamentale Bedeutung geht sogar weit darüber hinaus, und zwar läßt sich dort generell eine Beziehung zwischen zwei zusammengehörenden Operatorpaaren herstellen und fundamentale Invarianzsätze erhalten. z.B. zwischen Orts- und Impulsoperator.
Das funktioniert auch für Matrizen (und allerlei anderem, was ja gerade der Clou ist).
Was passiert dabei? Im Endeffekt bedeutet es nichts anderes, als daß man eine kontinuierliche Drehung durch eine Aneinanderreihung kleiner angenäherter Drehungen durchführt.
Also eine kleine Drehung läßt sich annähern durch "Identität + ein Bruchteil einer 90°-Drehung". Wenn man das ganze n mal wiederholt und jeweils den ein n'tel einer 90°-Drehung nimmt, bekommt man einen Ausdruck der Form (1+x/n)^n. Wobei x die jeweilige Operation (90°-Drehung) sein soll. Der Übergang von n -> unendlich ergibt dann gerade die exakte kontinuierliche Operation, was dann gerade einer Exponentiation entspricht.
Beispiel mit einer 2x2-Matrix zur Drehung.
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| Code: |
. Identität 90°-Drehung
. /1 0\ /0 -1\
. \0 1/ \1 0/
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Wenn man die wie besagt addiert, erhält man
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| Code: |
. kleine genäherte Drehung
. / 1 -phi/n\
. \phi/n 1 /
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Wenn man diese Exponentiation dann mit der Reihendarstellung ausführt, erhält man als Ergebnis
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| Code: |
. nach Exponentiation
. /cos(phi) -sin(phi)\
. \sin(phi) cos(phi)/
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Was so manchen bekannt vorkommen dürfte.
Daß ich oben phi/n genommen habe, ist natürlich keine Willkür. Man erhält das mathematisch korrekt durch umgekehrte Überlegungen und Näherung in erster Ordnung.
Lange Rede, kurzer Sinn:
e^x = lim\n->oo (1 + x/n)^n
ist nichts anderes als eine kompakte Darstellung für die Erzeugung einer kontinuierlichen Operation aus genäherten Einzeloperationen.
€: Und genau das führt zu diesem fundamentalen Zusammenhang:
In der komplexen Zahlenebene ist eine Drehung um 90° gerade die Multiplikation mit der imaginären Einheit i. Dreht man um 180°, also gerade einen halben Einheitsbogen der Länge Pi, erhält man eine -1.
Folglich: e^(i*pi) = -1
Also ist Pi gerade der Betrag des natürlichen Logarithmus von -1. Insofern stehen e und Pi in einem besonderen Zusammenhang. So wie i die Wurzel aus -1 ist.
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[Dieser Beitrag wurde 1 mal editiert; zum letzten Mal von Schalentier am 07.05.2005 15:50]
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| Thema: Pi doch nicht zufällig? |
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