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| | Zitat von Schalentier
Folglich: e^(i*pi) = -1 | |
Dazu sehr schön finde ich immer noch:
After proving Euler's formula e^(i*pi) = -1 in a lecture: "Gentlemen, that is surely true, it is absolutely paradoxical; we cannot understand it, and we don't know what it means. But we have proved it, and therefore we know it is the truth."
-Benjamin Peirce
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Irgendwann zwischen 1831 und 1880, da er 1831 Professor wurde und 1880 starb.
You need a reason to live! You don't need excuses to die!
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| | Zitat von -Delta-
| | Zitat von Wraith of Seth
Wir hätten immer noch ein Problem, da wir als Menschen doch irgendwie mit geordneten Zahlen agieren... Wie auch immer jetzt die Mathematik damit umgeht.
"Also, Fritzchen, welche Zahl ist davon größer? Zwei oder drei?" (Man beachte die Auswahlfrage, die Pädagogen empfehlen!)
"Mein Papa sagt aber, dass es kein größer und kleiner bei Zahlen gibt...!"
" " | |
Nein wir hätten kein Problem denn die reellen Zahlen wären ja nicht geordnet und damit wäre es wirklich nicht sinnvoll von größer oder kleiner zu sprechen und es würde wohl auch keine anschaulich korrekte Definition einer Ordnung geben.
Du kannst ja nicht einfach nur auf der Grundlage "Wenn das nun so wäre..." argumentieren und dabei die Auswirkungen unserer abgewandelten Voraussetzungen ignorieren | |
Hm, wir hätten ein sehr großes Problem. Da man aus einer nicht widerspruchsfreien Menge an Axiomen jede beliebige Aussage folgern kann. Wenn also jemand nachweisen würde, dass man aus den Axiomen der Mathematik einen Widerspruch konstruieren kann, so hätten wir das Problem, dass sich aus diesen Axiomen auch sämtliche falschen Aussagen als richtige Folgerung ergeben würden. (Elementar Logik und Mengenlehre ist ein schönes Fach in Mathe)
MfG wiZ
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| | Zitat von Wraith of Seth
Irgendwann zwischen 1831 und 1880, da er 1831 Professor wurde und 1880 starb. | |
Ahso. Damals war der denen wohl größere Zusammenhang noch nicht so bewußt. 
€: Wenn wir schon bei lustigen Funktionen sind.
Kann hier einer wer was über die Eulersche/Riemannsche Zeta-Funktion beitragen? *hust*
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[Dieser Beitrag wurde 1 mal editiert; zum letzten Mal von Schalentier am 07.05.2005 18:09]
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Eine schöne Zusammenfassung über die Zetafunktion:
Wikipedia
MfG wiZ
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| | Zitat von wizard@wg666.de
Hm, wir hätten ein sehr großes Problem. Da man aus einer nicht widerspruchsfreien Menge an Axiomen jede beliebige Aussage folgern kann. Wenn also jemand nachweisen würde, dass man aus den Axiomen der Mathematik einen Widerspruch konstruieren kann, so hätten wir das Problem, dass sich aus diesen Axiomen auch sämtliche falschen Aussagen als richtige Folgerung ergeben würden. (Elementar Logik und Mengenlehre ist ein schönes Fach in Mathe)
MfG wiZ | |
Wir hätten immer noch kein Problem, denn es gibt keine "Axiome der Mathematik", und wenn es sie gäbe könnte man alleine aus der Existenz unserer Mathematik erkennen dass sie widerspruchsfrei sein müssten. Z.B. die axiomatische Definition der rellen Zahlen funktioniert tadellos, die Zahlen die wir als reell ansehen erfüllen gerade alle diese Axiome also ist es vollkommen unmöglich einen Widerspruch aus den Axiomen zu konstruieren. Allerdings beruht ja nun jeder Teilbereich der Mathematik auf vollkommen unterschiedlichen Axiomen, und selbst falls sich diese im Einzelfall widersprechen sollten (was sich ja in dem Bereich mit dem sich Otto-Normal-Benutzer beschäftigt sehr leicht ausschließen lässt) gibt es noch lange keinen Effekt der irgendwie "die ganze Mathematik" zusammenstürzen lassen könnte, da alle wirklich grundlegenden Axiome (Körper-, Ordnung-, Gruppen-, Vektorraumaxiome etc.) mit vollkommener Sicherheit widerspruchsfrei sind allein aus der Tatsache heraus dass es nichtleere Mengen gibt die sie alle erfüllen.
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| | Zitat von Schalentier
Ahso. Damals war der denen wohl größere Zusammenhang noch nicht so bewußt. | |
Dass man da heute weiter ist sollte jedem klar sein, man kann ja Pi auch Problemlos aus e konstruieren wenn man über komplexe Trigonometrie vorgeht so wurde es bei uns in Mathe I ja auch getan *g* Dennoch finde ich die Gleichung immer noch faszinierend, da viele Leute immer noch glauben dass die Existenz transzendenter Zahlen wie Pi oder e ein "Mangel" der Mathematik wären und sie ja ganz offensichtlich doch nicht so "perfekt" sein kann. Dieser "Mangel" wird durch diese Gleichung einfach mit wundervoller Eleganz beseitigt *g*
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Mein Problem ist jetzt aber, was passiert, wenn es irgendwelche merkwürdigen Zahlen aus der Menge der reellen Zahlen gäbe, für die man beweisen könnte, das dort bestimmte Argumente in einigen sehr exotischen, aus diesen Axiomen gefolgerten Sätzen zusammenbrechen, so dass mindestens ein Axiom, das die reellen Zahlen beschreibt, Widersprüche liefert. Dann hätten wir das Problem, dass die reellen Zahlen, mit denen man rechnet, nicht mehr mathematisch durch diese grundlegenden Axiome beschrieben werden kann und neue gefunden werden müssen.
Und letztlich sind die Axiome, die wir zur Zeit für die reellen Zahlen verwenden (Körper-, Anordnungsaxiome und Vollständigkeitsaxiom), aus der Erfahrung erwachsen - was also, wenn unsere Erfahrung logisch falsche Schlüsse liefert? Das wäre gelinde gesagt das Ende jeder Philosophie jenseits des Skeptizismus...
You need a reason to live! You don't need excuses to die!
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Natürlich gibt es Axiome der Mathematik. Mal weg von der Frage, ob die Mathematik auch ohne den Menschen existieren würde. Die Frage ob sich der Mensch die Mathematik ausdenkt, oder sie auch so existiert gehört eher in die Philosophie, da sie nicht zu beantworten ist.
Allerdings kümmert sich die Logik (eigenes Teilgebiet der Mathematik) um die Gestalt der Mathematik. Irgendjemand hatte ja schon Gödel erwähnt. Dieser hatte sich unter anderem damit beschäftigt und von ihm stammt der Vollständigkeitssatz und der Unvollständigkeitssatz der Mathematik.
Zum Thema:
Die Axiome der Mathematik sind so grundlegende Sache, wie "Zwei Mengen sind gleich, wenn alle ihre Elemente gleich sind", "Von jeder Menge lassen sich Teilmengen bilden". Weiterhin gehört das Auswahlaxion dazu, welches schon nicht mehr ganz so grundlegend ist.
Aber aus diesen Axiomen kann man dann Körper und Gruppen aufbauen, wenn man mal grundlegende Formen des Folgerns und Beweisens acceptiert hat.
Zu diesem Thema kann ich auch noch sehr gerne Gödel Escher Bach als zwar populärwissenschaftliches, aber sehr gutes Buch empfehlen.
MfG wiZ
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| | Mein Problem ist jetzt aber, was passiert, wenn es irgendwelche merkwürdigen Zahlen aus der Menge der reellen Zahlen gäbe, für die man beweisen könnte, das dort bestimmte Argumente in einigen sehr exotischen, aus diesen Axiomen gefolgerten Sätzen zusammenbrechen, so dass mindestens ein Axiom, das die reellen Zahlen beschreibt, Widersprüche liefert. Dann hätten wir das Problem, dass die reellen Zahlen, mit denen man rechnet, nicht mehr mathematisch durch diese grundlegenden Axiome beschrieben werden kann und neue gefunden werden müssen.
Und letztlich sind die Axiome, die wir zur Zeit für die reellen Zahlen verwenden (Körper-, Anordnungsaxiome und Vollständigkeitsaxiom), aus der Erfahrung erwachsen - was also, wenn unsere Erfahrung logisch falsche Schlüsse liefert? Das wäre gelinde gesagt das Ende jeder Philosophie jenseits des Skeptizismus...
You need a reason to live! You don't need excuses to die! b] | |
In diesem Falle müsste der Fehler aber in der Mathematik selber liegen. Wenn du die Mathematik bisher als richtig akzeptiert hast, dann musst du auch ihre Axiome und Folgerungen akzeptieren.
Wenn ich mich nicht irre, studierst du doch in Bonn Physik. Hör dir doch mal zum Zeitvertreib Logik und Mengenlehre beim Köpke an. Da wirst du viel zu diesen Fragen erfahren.
MfG wiZ
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[Dieser Beitrag wurde 1 mal editiert; zum letzten Mal von wizard@wg666.de am 07.05.2005 18:34]
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| | Zitat von Wraith of Seth
Mein Problem ist jetzt aber, was passiert, wenn es irgendwelche merkwürdigen Zahlen aus der Menge der reellen Zahlen gäbe, für die man beweisen könnte, das dort bestimmte Argumente in einigen sehr exotischen, aus diesen Axiomen gefolgerten Sätzen zusammenbrechen, so dass mindestens ein Axiom, das die reellen Zahlen beschreibt, Widersprüche liefert. Dann hätten wir das Problem, dass die reellen Zahlen, mit denen man rechnet, nicht mehr mathematisch durch diese grundlegenden Axiome beschrieben werden kann und neue gefunden werden müssen.
Und letztlich sind die Axiome, die wir zur Zeit für die reellen Zahlen verwenden (Körper-, Anordnungsaxiome und Vollständigkeitsaxiom), aus der Erfahrung erwachsen - was also, wenn unsere Erfahrung logisch falsche Schlüsse liefert? Das wäre gelinde gesagt das Ende jeder Philosophie jenseits des Skeptizismus... | |
Das ist ja gerade das schöner an einer axiomatischen Definition, die reellen Zahlen sind ja gerade als die Zahlen definiert für die diese Axiome gelten. Sobald es auch nur irgendeine Zahl gibt für die sie gelten sind die Axiome schon einmal garantiert widerspruchsfrei, denn wenn sie sich widersprechen würden könnten sie nicht gleichzeitig richtig sein. Wenn es eine Zahl gibt für die eines der Axiome nicht zutrifft ist es ja per definitionem keine reelle Zahl, also war es von vornherein nicht Teil der betrachteten Menge
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Gödel Escher Bach steht schon seit Beginn des Hörens von AnaI auf meiner Wunschliste der zu lesenden Bücher. Und sobald ich richtig studiere, will ich auch endlich Unimathe abhandeln können. Geht ja nicht an, dass ich so gerade verstehe, was der Prof da erzählen will, aber es partout nicht anwenden kann...
Und deine Empfehlung werde ich wohl mal befolgen - sobald ich AHNUNG von Mathe habe. Ich weiß, was die Körper/Anordnungs/Vollständigkeitsaxiome aussagen, ich kann mir auch unter dem Mittelwertsatz oder mittlerweile gar dem kleinen o und dem großen O unter den Landau-Symbolen was vorstellen - aber ich kann noch überhaupt nicht damit umgehen...:/ Und jetzt mitten im zweiten Semester die durch mein Abitur geschlagenen Aufmerksamkeitsdefizite des ersten Semesters in AnaI aufzuarbeiten ist ein wenig... ...utopisch...
You need a reason to live! You don't need excuses to die!
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| | Zitat von -Delta-
Das ist ja gerade das schöner an einer axiomatischen Definition, die reellen Zahlen sind ja gerade als die Zahlen definiert für die diese Axiome gelten. Sobald es auch nur irgendeine Zahl gibt für die sie gelten sind die Axiome schon einmal garantiert widerspruchsfrei, denn wenn sie sich widersprechen würden könnten sie nicht gleichzeitig richtig sein. Wenn es eine Zahl gibt für die eines der Axiome nicht zutrifft ist es ja per definitionem keine reelle Zahl, also war es von vornherein nicht Teil der betrachteten Menge | |
Gab es da nicht irgendwie Grenzen? Sprich: Es gibt axiomatische Systeme innerhalb der Mathematik, deren Axiome untereinander NICHT zu Widersprüchen führen dürfen? Aber darum geht es mir.
Aber wie ich schon mal sagte - ich höre lieber auf, ich habe keine nützlichen Argumente...
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| | Zitat von Wraith of Seth
| | Zitat von -Delta-
Das ist ja gerade das schöner an einer axiomatischen Definition, die reellen Zahlen sind ja gerade als die Zahlen definiert für die diese Axiome gelten. Sobald es auch nur irgendeine Zahl gibt für die sie gelten sind die Axiome schon einmal garantiert widerspruchsfrei, denn wenn sie sich widersprechen würden könnten sie nicht gleichzeitig richtig sein. Wenn es eine Zahl gibt für die eines der Axiome nicht zutrifft ist es ja per definitionem keine reelle Zahl, also war es von vornherein nicht Teil der betrachteten Menge | |
Gab es da nicht irgendwie Grenzen? Sprich: Es gibt axiomatische Systeme innerhalb der Mathematik, deren Axiome untereinander NICHT zu Widersprüchen führen dürfen? Aber darum geht es mir.
Aber wie ich schon mal sagte - ich höre lieber auf, ich habe keine nützlichen Argumente...
You need a reason to live! You don't need excuses to die! | |
Siehe oben,
JEDES System von Axiomen, dass zu Widersprüchen führt, führt zu beliebigen Aussagen. Es sind also ALLE Aussagen in einem widersprüchlichen System von Axiomen wahr. Dementsprechend darf KEIN Axiomensystem in der Mathematik zu Widersprüchen führen. Sonst kannst du es gleich vergessen.
Gödel hat allerdings bewiesen, dass ein widerpruchsfreies System, welches Beispiele enthält (und noch kleinere andere Sachen, die mir jetzt nicht einfallen), also unser mathematisches System nicht vollständig ist. Es gibt also Sätze, deren Richtigkeit oder Falschheit nicht bewiesen werden können. Z.B. der Satz: "Genau dann, wenn ich richtig bin, ist dieses System falsch"
Das ganze funktioniert sehr ähnlich zu Russelschen Antinomie (Ein Kreter sagt alle Kreter lügen). Und so ähnlich, wie jeder Satz über die Elemente der leeren Menge ist richtig, so ist auch jeder Satz in einer widersprüchlichen Menge von Axiomen richtig.
MfG wiZ
Viel Spass bei Ana1
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Bestreite ich ja nicht... Ich meinte was anderes - wenn nun so ein Widerspruch in den Axiomen für die reellen Zahlen aufträte, würde letztlich doch jede der Erfahrung nahe Mathematik zusammenbrechen. Skeptizismus, ahoi!
Was ich aber im Zuge von Gödel auch nett finde: "Der Barbier rasiert alle Männer des Dorfes, die sich nicht selbst rasieren.".
Und das Auswahlaxiom ist ja eben so ein nettes Axiom: Es muss weder dazugenommen werden, noch muss man es weglassen... Beides geht. Zumindest, wenn ich mich recht erinnere...
You need a reason to live! You don't need excuses to die!
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| | Zitat von -Delta-
Das ist ja gerade das schöner an einer axiomatischen Definition, die reellen Zahlen sind ja gerade als die Zahlen definiert für die diese Axiome gelten. Sobald es auch nur irgendeine Zahl gibt für die sie gelten sind die Axiome schon einmal garantiert widerspruchsfrei, denn wenn sie sich widersprechen würden könnten sie nicht gleichzeitig richtig sein. Wenn es eine Zahl gibt für die eines der Axiome nicht zutrifft ist es ja per definitionem keine reelle Zahl, also war es von vornherein nicht Teil der betrachteten Menge | |
Genau. Dem möchte ich mich auch anschließen. Ich frage mich, was manche Leute für Probleme haben. Wir haben Axiome und eine Menge von Elementen, auf die sie angewendet werden können. Und da können nicht irgendwelche Elemente auftauchen, die nicht reinpassen.
Also sowas wie in der Antike, als das der Riesenschock war, als plötzlich jemand feststellte, daß es offenbar Zahlen gibt, die sich nicht als Bruchdarstellen lassen.
Man hatte einfach angenommen, daß sich sämtliche Zahlen als Brüche ganzer/natürlicher Zahlen (weiß jetzt nicht, wie die's mit negativen Zahlen gehalten haben) schreiben lassen. Und daß sich sämtliche geometrisch konstruierbare Längen mit Zahlen ausdrücken lassen. Das waren einfach Annahmen, die nicht aufeinander aufgebaut waren. Ich meine, klar, es klingt verlockend, denn man kann zwischen zwei rationalen Zahlen immer noch eine weitere finden. Aber daß man dadurch wirklich alle erwischt hat, auf die die als gültig angenommenen Axiome gelten, hat keiner geprüft. Heutzutage kann man das rundum wasserdicht abschließen.
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| | Zitat von wizard@wg666.de
Eine schöne Zusammenfassung über die Zetafunktion:
Wikipedia | |
Ja, was da in den Links steht, ist mir auch bekannt.
Vielleicht hätte jemand was interessantes dazuzutragen, mit eigenen Worten.
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| | Zitat von wizard@wg666.de
JEDES System von Axiomen, dass zu Widersprüchen führt, führt zu beliebigen Aussagen. Es sind also ALLE Aussagen in einem widersprüchlichen System von Axiomen wahr. Dementsprechend darf KEIN Axiomensystem in der Mathematik zu Widersprüchen führen. Sonst kannst du es gleich vergessen. | |
Eine weithin unbekannte Tatsache in der Mathematik ist ja 5 = 7.
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| | Zitat von Schalentier
| | Zitat von wizard@wg666.de
JEDES System von Axiomen, dass zu Widersprüchen führt, führt zu beliebigen Aussagen. Es sind also ALLE Aussagen in einem widersprüchlichen System von Axiomen wahr. Dementsprechend darf KEIN Axiomensystem in der Mathematik zu Widersprüchen führen. Sonst kannst du es gleich vergessen. | |
Eine weithin unbekannte Tatsache in der Mathematik ist ja 5 = 7. | |
Modulo 2 stimmt das ja auch
MfG wiZ
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| | Zitat von wizard@wg666.de
Modulo 2 stimmt das ja auch | |
Apropos Modulo, das eröffnet einn ganz neuen und einzigartigen Zweig in der Mathematik. Galois-Gruppe, elliptische Kurven, etc...
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| | Zitat von Schalentier
Apropos Modulo, das eröffnet einn ganz neuen und einzigartigen Zweig in der Mathematik. Galois-Gruppe, elliptische Kurven, etc... | |
Und es eröffnet einem einen ganz neuen und einzigartigen Zweig der schlechten Wortwitze
Beispiel aus der Uni:
<Dozent schreibt Kram als Wiederholung vom letzten Mal an die Tafel>
"So, da steht jetzt das gleiche wie in der letzten Vorlesung, Modulo meine Schreibfehler"
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Also, jetzt will ich da auch mal meinen Senf dazugeben.
Zunächst begeb ich mich mal bissle aufs Glatteis. Wie schon erwähnt, ist die Zahl pi selbst nicht zufällig. Was wohl gemeint ist, ist dass die Folge der Nachkommastellen eine sogenannte "Zufallsgröße" darstellen. Ein schlimmes Wort würde mein Dozent jetzt sagen, denn eine "Zufallsgröße" ist eine Abbildung. Egal.
Es geht meiner Meinung nach darum, dass in der Folge der Nachkommastellen zum Beispiel in der Dualdarstellung mit relativer Häufigkeit 1/2 die Zahl 0 und mit relativer Häufigkeit 1/2 die Zahl 1 auftaucht.
Schalentier hat vorhin gemeint "e^x" abgleitet ergibt "e^x", das ist das wichtige.
Ich finde das greift etwas zu kurz. Das wichtigste dürfte doch der Punkt sein, dass die e-Funktion (oder e^x ) die Funktionalgleichung erfüllt. Also (e^x)*(e^y) = e^(x+y). Aus der Geschichte fließt so vieles, unter anderem auch die Sache mit der Ableitung, wenn ich mich recht erinnere. Bin mir aber da aber nicht ganz sicher. Die (reelle) e-Funktion ist dann noch konvex. Auch das ist unheimlich von Bedeutung. Denn daraus läßt sich die verallgemeinerte AGM-Ungleichung ableiten und aus der folgt dann wieder die Hölder-Ungleichung. Usw usf.
Das schönste aber wurde ja schon erwähnt: Die Verknüpfung der einzigen beiden transzendenten Zahlen, die die Menschheit kennt. (Ok, es gibt evtl. noch eine 3., die auch auf den Herrn Euler zurückgeht). Was ist jetzt daran so aufregend?
Zunächst zur Sache mit den transzendenten Zahlen: Die reellen Zahlen teilen sich in rationale und irrationale Zahlen. Rationale sind solche, die sich durch einen Bruch darstellen lassen. Bei irrationalen Zahlen geht das nicht. sqrt(2) zum Beispiel ist ein Vertreter der irrationalen Zahlen. Nun ist es so, dass die Menge der rationalen Zahlen "kleiner" ist als die der irrationalen. Das ist jetzt bissle schwierig einzusehen, denn beides sind unendliche Mengen . Und dennoch sind die irrationlaen Zahlen eben so unglaublich viel mehr Zahlen als die rationalen. Die irrationalen Zahlen teilen sich dann wieder in sogenannte algebraische Zahlen und transzendete Zahlen. Algebraische Zahlen sind Nullstellen eines Polynoms. Beispiel sqrt(2) ist Lösung von (x^2) - 2 = 0. Transzendente Zahlen dagegen sind nicht als Nullstelle eines Polynoms darstellbar. pi zum Beispiel ist Lösung der Gleichung cos((1/2)x) = 0. Das ist kein Polynom. Und jetzt kommt der Punkt, auf den ich eigentlich hinauswill: Die Anzahl der algebraischen Zahlen sind im Vergleich zur Anzahl der transzendenten Zahlen wiederum sowas von gar nichts.
Zusammengefasst: |rationale Zahlen| < |algebraische Zahlen| < |transzendente Zahlen|, wobei |A| die Mächtigkeit darstellen soll.
Wir haben also eine unendliche Menge, eine unendlichere Menge und eine sowas von unendliche Menge, und genau aus dieser sowas von unendlichen Menge kennt die Menschheit genau zwei Zahlen. e und pi. Das finde ich faszinierend.
Und jetzt gehts weiter: Wie schon erwähnt ergibt dann die Verknüpfung dieser beiden transzendenten Zahlen zusammen mit der imaginären Einheit eine ganze Zahl, wenn mans richtig macht sogar eine natürliche.
e^(i*pi) = -1 bzw. was ich persönlich noch viel schöner finde: e^(i*2pi) = 1
Die zweite Formel hat mein Dozent mal als die "Weltformel" bezeichnet.
Die e-Funktion zieht sich so unglaublich durch die Analysis, sie ist eigentlich in fast jeder Geschichte zu finden, ab und zu muss man vieleicht ein bissle suchen.
Und man könnte ja noch so vieles sagen...
e^x für x in |R divergiert sowas von für x -> unendlich, aber durch die popelige imaginäre Einheit bleibt der Betrag von e^(i*x) plötzlich immer 1 (solange x reell ist). Völlig egal, wo mir das x hinläuft.
Oder e^(i*x) = cos(x) + i*sin(x)
Dann die Geschichte mit der Drehgruppe die das Schaltentier angesprochen hat und die letztendlich auf die Reihenentwicklung der e-Funktion bzw- von sinus und cosinus hinausläuft. Das war mal ein Übungsblatt im letzten Semester. Nach der Lösung war ich wie auf Drogen, so faszinierend fand ich das...
Nennt mich von mir aus verrückt, aber Mathe ist schön! Und das als Physiker /o\
Und vor allem die Komplexen Zahlen. Die sind schön. Und obwohl C ein Körper ist, kann man ihn nicht anordnen @Wraith of Seth
Und da hab ich dann noch eine faszinierende Sache: i^i (also die imaginäre Einheit potenziert mit sich selbst), ist wieder reell... (Müsste irgendwas mit 0,207879... sein, wenn ich mich grad nicht vertue)
Sodala, viel geschrieben, wahrscheinlich das ein oder andere wiederholt, vieleicht auch Schmarrn verzapft und nicht viel auf die eigentliche Diskussion eingegangen. Aber hoffentlich hab ich trotzdem was beigetragen.
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| | Zitat von Bergarbeiter
Schalentier hat vorhin gemeint "e^x" abgleitet ergibt "e^x", das ist das wichtige. | |
Nein, ich habe geschrieben, was die Eulersche Zahl selbst ausmacht. Warum e^x besonderer ist als z.B. 2^x.
| | | Ich finde das greift etwas zu kurz. Das wichtigste dürfte doch der Punkt sein, dass die e-Funktion (oder e^x ) die Funktionalgleichung erfüllt. Also (e^x)*(e^y) = e^(x+y). | |
Wenn man die Gleichung nimmt, ja. Das hatte ich übrigens auch geschrieben. Erst habe ich eine Funktion gesucht, die abgeleitet sich selbst ergibt. Und dann festgestellt, daß sie diese Eigenschaft hat und nebenbei für ganzzahlige Exponenten das kennt, was man bisher von einer Exponentiation kannte (also x^4 = x*x*x*x) und die Basis eben e ist. Eine irrationale Zahl, was auf den ersten Blick ungewöhnlich erscheint.
| | | Wir haben also eine unendliche Menge, eine unendlichere Menge und eine sowas von unendliche Menge, und genau aus dieser sowas von unendlichen Menge kennt die Menschheit genau zwei Zahlen. e und pi. Das finde ich faszinierend. | |
Ich überhaupt nicht, aber das steht hier nicht zur Debatte.
| | | Und jetzt gehts weiter: Wie schon erwähnt ergibt dann die Verknüpfung dieser beiden transzendenten Zahlen zusammen mit der imaginären Einheit eine ganze Zahl, wenn mans richtig macht sogar eine natürliche. | |
Na und? Mal multipliziere eine transzendente Zahl mit einer anderen transzendenten Zahl, nämlich ihrem Kehrwert, und schon haben wir eine Eins.
| | | e^x für x in |R divergiert sowas von für x -> unendlich, aber durch die popelige imaginäre Einheit bleibt der Betrag von e^(i*x) plötzlich immer 1 (solange x reell ist). Völlig egal, wo mir das x hinläuft. | |
Das erscheint auf den ersten Blick witzig. Die x^i in der Reihendarstellung klettern alle und klettern und klettern. Durch die Vorfaktoren allerdings ergibt die unendliche Summe plötzlich eine super gleichemäßige rotierende Funktion in der komplexen Zahlenebene.
Allerdings haben viele unendliche Reihen interessante Konvergenzeigenschaften und Grenzwerte.
Die Zeta-Funktion ist eine andere, die solche irrsinnigen Dinge tut, allerdings läßt die sich nicht so einfach in den Griff bekommen.
| | | Dann die Geschichte mit der Drehgruppe die das Schaltentier angesprochen hat und die letztendlich auf die Reihenentwicklung der e-Funktion bzw- von sinus und cosinus hinausläuft. | |
Natürlich. Allerdings funktioniert das nicht nur mit Drehungen sondern anderen physikalischen Operatoren. Das hat aber auch damit was zu tun, daß wenn man die Exponentialfunktion ableitet, man den Vorfaktor im Exponenten als Faktor rausbekommt (falls das mit der Kommutativität der Operatoren klappt), während der alte Ausdruck einfach hinten stehenbleibt. Das klappt halt nicht nur mit Zahlen im Exponenten sogar so ziemlich allem beliebigen, wodurch man auch gern explizit exp(...) schreibt, um darauf hinzudeuten, daß das mit Exponentiation im ursprünglichen Sinne nicht mehr direkt was zu tun hat.
Das tolle an der Reihendarstellung ist halt, daß es eine Polynom ist, eines der bestverstandenen mathematischen Gebilde. Und die Exponentialfunktion hat anderweitig schön greifbare Eigenschaften.
Die Tatsache, daß man sie für solche Dinge verwenden kann, ist ein Indiz, daß das ganze mehr als nur eine mathematische Spielerei ist, sondern irgendwas fundamentaleres. Irgendwie gibt's soviel Analogien zwischen der physikalischen Struktur des Universums und mathematischen Strukturen. Da ist irgendwas göttliches dran.
| | | Das war mal ein Übungsblatt im letzten Semester. Nach der Lösung war ich wie auf Drogen, so faszinierend fand ich das... | |
Anfangs ist das cool, wenn man die Scheiße bis zum Kotzen oft in alle Richtungen gedreht hat, wird es irgendwann langweilig offensichtlich und trivial. Aber immer noch äußerst elegant und wunderschön.
Achja. Wir hatten auch mal was auszurechnen. Wir haben ein System aus zwei Zuständen und einen Störoperator, der sie ineinander übergehen läßt. Jetzt sollten wir die Entwicklung des Systems bestimmen. Das sieht dann so aus, daß es ein paar Mal hin- und herschwingt, die Schwingung aber schnell verreckt und das ganze darauf hinausläuft, daß die mittlere Wahrscheinlichkeit 50:50 ist.
Das ging wieder so, daß man den Hamiltonoperator exponentieren muß, wie üblich und man dann verschiedene kombinierten Entwicklungen rausbekam. Das war dann nicht rein imaginär, es ist also noch ein exponentiell abfallender Anteil übriggeblieben (der sich je nach Schreibweise auch als sinh/cosh geäußert hat) ist.
sin(x) = [e^(ix) - e^(-ix)]/2i
cos(x) = [e^(ix) + e^(-ix)]/2
sinh(x) = [e^x - e^(-x)]/2
cosh(x) = [e^x + e^(-x)]/2
Da ist schon ein System dahinter.
Die komplexen Zahlen ergänzen alles wieder hübsch zu einer geschlossenen Einheit. Etwas, das vorher irgendwie nicht zusammengepaßt hat.
| | | Nennt mich von mir aus verrückt, aber Mathe ist schön! Und das als Physiker /o\ | |
Geht mir ähnlich.
| | | Und vor allem die Komplexen Zahlen. Die sind schön. Und obwohl C ein Körper ist, kann man ihn nicht anordnen | |
Ja, aber es ist ein Betrag definiert und der läßt sich anordnen. Das hilft schonmal viel. Und das andere (der "Winkel") läßt sich meist beliebig wählen, hauptsache die Ableitung kommt richtig raus.
Die komplexen Zahlen füllen halt Löcher aus. Damit kann man die Zahlen viel besser in alle Richtungen drehen und wenden, ohne aufpassen zu müssen, daß irgendwo irgendwas nicht definiert sein könnte. Die Implikationen, die sich dadurch ergeben, sind aber auch wieder interessant.
In der Quantenmechanik bekommt kan halt im verbotenen Bereich exponentiellen Abfall in der Wahrscheinlichkeitsverteilung und im erlaubten stehende Wellen. Die komplexen Zahlen kommen halt wie gerufen. Man nimmt sie aber im Endeffekt nur, weil sie alle Gleichungen so wunderbar einfach werden lassen. Observabel ist der imaginäre Anteil nie, wie gesagt. Es ist eine Form der Darstellung, die Lücken füllt.
| | | Und da hab ich dann noch eine faszinierende Sache: i^i (also die imaginäre Einheit potenziert mit sich selbst), ist wieder reell... (Müsste irgendwas mit 0,207879... sein, wenn ich mich grad nicht vertue) | |
i^i = exp(ln(i) * i). ln(i) ist die Zahl x, für die gilt e^x = i. Das ist offenbar eine Drehung von 1 um 90°, also x = pi/2 i. Damit ist i^i = exp(-pi/2) und das Ergebnis ist damit reell, jupp.
| | | Sodala, viel geschrieben, wahrscheinlich das ein oder andere wiederholt, vieleicht auch Schmarrn verzapft und nicht viel auf die eigentliche Diskussion eingegangen. Aber hoffentlich hab ich trotzdem was beigetragen. | |
Nö, es macht immer Spaß, über sowas zu diskutieren.
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[Dieser Beitrag wurde 1 mal editiert; zum letzten Mal von Schalentier am 08.05.2005 1:04]
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Wo ihr gerade dabei seid: Da mein Prof netterweise noch nicht das Script aktualisiert hat, ich aber morgen ein Testat darüber schreibe und außerdem am entscheidenden Tag nicht in der Vorlesung war (Schule und so) eine kleine Frage - vielleicht auch mehr:
Wie erhält man die komplexen ArcSin und ArcCos?
Okay, erstmal fällt mir nichts weiteres mehr ein...
You need a reason to live! You don't need excuses to die!
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| Thema: Pi doch nicht zufällig? |
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