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Ja, will fix begründen, wieso komponentenweise differenzieren iA nicht geht.
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Eine Funktion kann natürlich nur dort differenzierbar sein, wo sie auch definiert ist, außerhalb des Konvergenzgebiets ist die Reihe undefiniert (oder hat, je nach Sichtweise, den Wert unendlich).
Der Konvergenzradius hängt allerdings vom Entwicklungspunkt ab, die Funktion kann durchaus auch außerhalb dieses Konvergenzgebiets definiert sein (wird dort aber nicht durch die Potenzreihe dargestellt).
Ein Beispiel für eine auf den positiven, reellen Zahlen analytische Funktion, deren Potenzreihendarstellung nur lokal gültig ist, ist der Logarithmus.
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| | Zitat von Irdorath
Ja, will fix begründen, wieso komponentenweise differenzieren iA nicht geht.
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Was willst Du wirklich machen? Woher kommt die Frage?
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So langsam sollte sowas wohl in der Startpost! 
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Spektraldichten haben eine Darstellung als  mit einer positiv definiten, absolut summierbaren Folge c(j).
Davon die Differenzierbarkeit kann man bestimmen mit den n. Partialsummen der obigen Folge. Konvergiert punktweise dagegen, und die Ableitungen sogar gleichmäßig gegen die entsprechende Ableitung.
Direkt ableiten muss man halt irgendwie an der unendlichen Summe vorbei, und das erschien mir etwas unklar.
Denke dieses Bild aus dem Wikiartikel zur Taylorreihe sollte passen zum Gegenbeispiel?
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Naja, da sieht man noch nicht, dass das für n->inf immer noch keine globale Darstellung des Logarithmus ist. Bei einem Polynom (was ja nichts anderes ist als eine Potenzreihe, ber der ab einem n alle weiteren Koeffizienten 0 sind) würde das genau so aussehen, solange man den Grad des Polynoms nicht erreicht hat.
Der Witz ist halt, dass die Potenzreihe, mit der in dem Bild von Wikipedia gearbeitet wird, für x>2 divergent ist.
Der wirkliche Witz ist, dass das, was Dich interessiert, keine Potenzreihe ist.
Ich werfe mal den Begriff "Fourier-Reihe" in den Raum.
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[Dieser Beitrag wurde 1 mal editiert; zum letzten Mal von Virtus am 15.05.2014 19:16]
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Guten Abend,
bei mir herrscht "Indexchaos" im Kopf. Kann mir jemand eine gute Einführung zum Thema Tensoren empfehlen?
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"Das einzige was man über Tensoren in der Physik wissen muss ist, dass das eigentlich keine Tensoren sind, dann ist das alles ganz einfach." - Dr. C.L.
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Was lernen wir daraus? Richtige Tensoren spielen für die Welt keine Rolle, das ist nur Spielzeug für Mathematiker.
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Ok, dann stelle ich die Frage nach den Tensoren in den Hintergrund. Hier kommt aber die nächste 
Ich habe eine klassische Bewegungsgleichung für ein kräftefreies Teilchen der Masse m:
Die soll ich nach folgender Vorschrift in beliebige Koordinaten transformieren:
Was muss ich lesen/machen um das hinzubekommen?
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[Dieser Beitrag wurde 1 mal editiert; zum letzten Mal von Matzel90 am 15.05.2014 23:06]
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| | Zitat von Virtus
"Das einzige was man über Tensoren in der Physik wissen muss ist, dass das eigentlich keine Tensoren sind, dann ist das alles ganz einfach." - Dr. C.L.
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Und das ist immer noch Bullshit! Mathematiker behaupten das solange, bis sie mal gezwungen sind, sich damit auseinander zu setzen. Es sind (glatte) Schnitt des Tensorbündels, was an jedem Punkt eine natürliche Projektion in den örtlichen Tensorraum über dem Punkt x ist. Der einzige Unterschied zwischen diese und der "Trafodefinition" der Physiker ist historisch. Das eine ist moderne DiffGeo, das andere der ursprüngliche Zugang zum Ricci-Kalkül. Da Physiker Koordinaten brauchen, ist es nur natürlich, damit anzufangen.
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@Matzel: Jedes gute Buch über 4D-Formalismus aka Spezielle/Allgemeine Relativitätstheorie sollte das beharken. Letztlich ist es immer nur Kettenregel-, Trafosatz und Einsteinsche Summenkonvention.
Empfehlen kann ich z.B. Relativity Demystified (nicht von der Buchaufmachung irritieren lassen...), Carroll - Space-Time and Geometry (eine Vorabfassung gibt es online), d'Inverno (der Name sollte reichen), und Weinberg - Gravitation and Cosmology (oder so ähnlich).
No, murder is not the answer. You always suggest that.
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[Dieser Beitrag wurde 1 mal editiert; zum letzten Mal von Wraith of Seth am 16.05.2014 0:22]
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Auch das, was Differentialgeometer als Tensoren bezeichnen, sind keine Tensoren.
Man kann das zwar über einen Isomorphismus retten, aber letztlich macht man aus einer sehr einfachen Konstruktion etwas sehr kompliziertes.
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Ja, genau.  Weil Isomorphismen ja sooooo böse sind.
We apologize for the inconvenience.
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Nein, Konzepte zu verwischen ist böse.
Eigentlich geht es nur um multilineare Abbildungen auf einem (endlichen) Produkt eines Raumes mit sich selbst (und seinem Dualraum). Alles Begriffe, die man nach dem zweiten Semester kennen sollte. Stattdessen murmelt man in der Differentialgeometrie (die man optimistisch im vierten Semester hört) jetzt etwas von "Tensoren n-ter Stufe", die ein bestimmtes Verhalten zeigen. Dass diese Objekte den Studenten schon lange bekannt sind wird ignoriert, man stellt sie als etwas neues (und schwieriges) dar.
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Nicht in den Vorlesungen meisten Vorlesungen, die ich kenne. Die Trafoeigenschaft ist ja erst für das Tensorfeld, der Tensorraum an einem Punkt ist einfach ein Raum multilinearer Abbildungen. Denn der Tangentialraum T_x M ist immer kanonisch isomorph zu irgendeinem R^n.
Das Trafoverhalten ist eine Folge davon, dass sie glatt bezüglich des Punktes x sein müssen. Diese Eigenschaft ist ja das, was die DiffGeo/den Physiker interessiert.
Ich sehe nicht, wo da verwischt wird. Wenn du dich jetzt über "die Metrik" aufregen würdest (Metrik vs. metrischer Tensor AKA Metrik ), ja, aber ein Tensor/Tensorfeld der DiffGeo ist eine naheliegende Kurzform für glatter Schnitt des Tensorbündels. Und das Tensorbündel ist wieder nur die punktweise Vereinigung der einzelnen Tensorprodukträume von T_x M mit geeigneter Topologie.
You got to belong to someone, even if he kicks you once in a while.
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[Dieser Beitrag wurde 1 mal editiert; zum letzten Mal von Wraith of Seth am 16.05.2014 2:12]
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Mir geht es nicht um das Transformationsverhalten, sondern um den Begriff.
Man führt neue Objekte ein, nennt sie (r,s)-Tensor und definiert sie über bestimmte Eigenschaften (Linearität in ihren Argumenten), anstatt einfach zu sagen "Multilineare Abbildungen auf Produkten des (Ko)Tangentialraums". Damit wäre jedem Studenten klar, dass es sich nur um einen (für die Geometrie wichtigen) Spezialfall eines ihm schon lange bekannten Konzepts handelt. Beim Tangentialraum machst Du das ja auch so - es ist ein Vektorraum! Du fängst nicht an die abstrakten Eigenschaften des Tangentialraums aufzuzählen.
Bei uns wurde diese Beziehung komplett ignoriert, das ganze fiel als "neue" Definition vom Himmel. Und das ist für mich eine didaktische Katastrophe.
Für Studenten, die noch nie Tensorprodukte gesehen haben, ist ein (r,s)-Tensor etwas vollkommen neues.
Für Studenten, die bereits Tensorprodukte (und damit Tensoren als Elemente des Tensorprodukts) kennen, ist es eine Neubelegung des Begriffs "Tensor".
Bei Physikern sieht das eventuell anders aus - wann hast Du das erste Mal mit Tensoren zu tun gehabt? Wenn das vor der Definition von Dualräumen und multilinearen Abbildungen in der LA war, kann ich nachvollziehen, warum das alles für Dich kein Problem darstellt.
Der (deutsche) Wikipediaartikel über Tensoren ist deutlich besser als das, was ich in der Diffgeo-Vorlesung erlebt habe. Mit dem habe ich nämlich verstanden, was der Zusammenhang zwischen Tensoren und Tensoren ist.
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| | Zitat von Virtus
..., anstatt einfach zu sagen "Multilineare Abbildungen auf Produkten des (Ko)Tangentialraums". Damit wäre jedem Studenten klar, ...
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DAS! denk ich mir hier öfters
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Öfters? Dauernd!
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Eigentlich nur ausser es geht um Programmieren und SE 
¤: Worum es übrigens viel zu selten geht
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[Dieser Beitrag wurde 1 mal editiert; zum letzten Mal von SwissBushIndian am 17.05.2014 18:09]
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| | Zitat von SwissBushIndian
Eigentlich nur ausser es geht um Programmieren und SE
¤: Worum es übrigens viel zu selten geht
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Gar nicht! Viel zu oft! Kein Wort versteht man! | | Zitat von Virtus
Mir geht es nicht um das Transformationsverhalten, sondern um den Begriff.
Man führt neue Objekte ein, nennt sie (r,s)-Tensor und definiert sie über bestimmte Eigenschaften (Linearität in ihren Argumenten), anstatt einfach zu sagen "Multilineare Abbildungen auf Produkten des (Ko)Tangentialraums". Damit wäre jedem Studenten klar, dass es sich nur um einen (für die Geometrie wichtigen) Spezialfall eines ihm schon lange bekannten Konzepts handelt. Beim Tangentialraum machst Du das ja auch so - es ist ein Vektorraum! Du fängst nicht an die abstrakten Eigenschaften des Tangentialraums aufzuzählen.
Bei uns wurde diese Beziehung komplett ignoriert, das ganze fiel als "neue" Definition vom Himmel. Und das ist für mich eine didaktische Katastrophe.
Für Studenten, die noch nie Tensorprodukte gesehen haben, ist ein (r,s)-Tensor etwas vollkommen neues.
Für Studenten, die bereits Tensorprodukte (und damit Tensoren als Elemente des Tensorprodukts) kennen, ist es eine Neubelegung des Begriffs "Tensor".
Bei Physikern sieht das eventuell anders aus - wann hast Du das erste Mal mit Tensoren zu tun gehabt? Wenn das vor der Definition von Dualräumen und multilinearen Abbildungen in der LA war, kann ich nachvollziehen, warum das alles für Dich kein Problem darstellt.
Der (deutsche) Wikipediaartikel über Tensoren ist deutlich besser als das, was ich in der Diffgeo-Vorlesung erlebt habe. Mit dem habe ich nämlich verstanden, was der Zusammenhang zwischen Tensoren und Tensoren ist.
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Moment mal - ihr habt in einer Mathe-Vorlesung Tensoren wie definiert? Über ihr Definitionsverhalten? WTF! In jeder Vorlesung, die ich ausreichend mitdenkend erlebt habe, war das immer ein Schnitt durch das Tensorbündel, mit dem Verweis, dass es lokal "nur" der Tensor aus der Algebra/LA ist.
In Physik hatte ich Tensoren auch in der LA - allerdings nicht wirklich verstanden. Das kam erst mit ART. Und das hat mich noch Jahre gekostet, bis ich verstanden habe, was das eine mit dem anderen zu tun hat. Aber weniger wegen schlechter Einführung in der Mathe als schlechter Lernstrategien meinerseits. Und natürlich wegen meiner persönlichen Dummheit bezüglich Mathe. Und ich meine, dass dieses nervige, nicht-anwendbare Pfeilgehopse aus LA/Algebra immer irgendwann auch mal auf die Linearität zu sprechen kam, einfach, um den Bogen zur LA zu ziehen, wo man die ganze Zeit mit irgendwelchen speziellen Tensoren zu tun hatte (Determinante, Matrizen, Bilinearformen, ...) und immer die Linearität die Grundeigenschaft war. Bei dem Pfeilgehopse (universelle Eigenschaften) selbst habe ich nie ausreichend durchgeblickt, um zu wissen, wieweit Linearität da noch offensichtlich ist.
Außerdem: Linearität in jedem ihrer Argumente ist doch gerade Multilinearität, also - wo ist das Problem?
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Schonmal was von Tensorintegralen gehört?
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Tensorprodukt von Integritätsringen?
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WoS: Ich habe mir jetzt die Mühe gemacht, nochmal in meiner Mitschrift nachzugucken. Laut unserer Vorlesung gilt (für (r,E)-Tensoren):
1.) Tensoren sind  -multilinear 
2.) Tensoren sind in jeder Komponente  -linear (das könnte man sehr schön mit dem vorherigen Punkt verheiraten...)
Damit wurden (r,s)-Tensoren dann für kleine s beispielhaft angegeben (durch passendes E, ohne Erklärung). Tensoren im Sinne der Algebra wurden nie erwähnt.
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Die Bücher, die ich gerade in Reichweite habe (ich gucke nachher im Büro nochmal), definieren erst das (r,s)-Tensorprodukt eines Vektorraums V, machen daraus dann den Tensorprodukt-Raum über dem Tangentialraum und bilden daraus dann das entsprechende Bündel. Also zumindest  wird immer benutzt. Stellt dich das zufrieden?
Das was du da hast, wäre Physikersprech, wenn es nicht  hätte - Schnitte werden meist nicht erwähnt und kontravariante Tensoren meist durch ein  eingeführt.
Die beiden eher algebraischen Bücher im Büro (der Warner und der Tu) könnten "sogar" die universelle Eigenschaft erwähnen.
Was meinst du mit kleine s?
SCIENCE - If you ain't pissin' people off, you ain't doin' it right.
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[Dieser Beitrag wurde 2 mal editiert; zum letzten Mal von Wraith of Seth am 17.05.2014 21:59]
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Das klingt schon deutlich besser, eventuell hab ich einfach nur eine schlechte Vorlesung gehört
"Kleine" s sind s=0,1,2. Der allgemeine Fall (mit Kotangentialraum) steht in der Definition nicht explizit drin. Vermutlich lässt sich das aber immer über ein passendes E hinbiegen...
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Tensoren - Not even once.
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| | Zitat von Virtus
Das klingt schon deutlich besser, eventuell hab ich einfach nur eine schlechte Vorlesung gehört
"Kleine" s sind s=0,1,2. Der allgemeine Fall (mit Kotangentialraum) steht in der Definition nicht explizit drin. Vermutlich lässt sich das aber immer über ein passendes E hinbiegen...
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Hm, ich denke, solange s eine natürliche Zahl ist, ist alles gutartig. Und solange V endlich-dimensionaler Vektorraum.
P.P.S. I can kill you with my brain.
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Virtus, das dürfte voll dein Gebiet sein:
Ich kenne den Kokern einer Abbildung F: V->W nur als W/Bild(F). Jetzt habe ich zu F auch ein Adjungiertes F^*. In einigen Beweisen wird jetzt mit dem Kokern rumgefuchtelt, als wäre es (zumindest von der Dimension her) der Kern des Adjungierten. Wenn ich bei gegebener Metrik g das Adjungierte aber durch  kenne, raff ich irgendwie nicht so ganz, wie ich auf sowas käme...
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| | Zitat von SwissBushIndian
DAS! denk ich mir hier öfters
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Da steht Studenten, müssen wir also nicht verstehen! 
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| Thema: pOT-lnformatik, Mathematik, Physik XVI ( Ship painting activities ) |
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