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| | Zitat von AngusG
Aber: Es tendiert eben nur gegen Unendlich, es wird niemals unendlich. | |
Genau das haben die Unendlichkeiten so an sich.
| | | Auch nicht im Unendlichen. | |
Man kann nicht davon reden, ob sie sich im Unendlichen schneiden. Kann man nicht sagen, weil das Unendliche ist einfach ein nicht definierter Bereich.
Baut man sich eine Menge, in der die Unendlichkeit eine gültig ist, dann geht das schon. (Bevor jetzt einer anfängt: Damit das geht, muß man viele Einschränkungen machen und angepaßte Rechenregeln verwendet, die Zahl "unendlich" läßt sich nicht ohne weiteres zu den reellen Zahlen hinzufügen)
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| | Zitat von eupesco
Ist also nicht instantan auf der "anderen Seite", sondern immer noch an die absolute Geschwindigkeit gebunden ? | |
Erst wenn du es beobachtest, kannst du sagen, daß es ab jetzt auf der anderen Seite ist. Es scheint sich innerhalb der Barriere allerdings mit unendlich hoher Geschwindigkeit bewegen. Allerdings ist alles im Rahmen der Unschärferelation noch im grünen Bereich.
Man kann dadurch keine Information mit Überlichtgeschwindigkeit transportieren. Das zu verstehen, ist allerdings etwas komplizierter.
€: Das ist etwa so wie mit den verschränkten Teilchen, da geht's auch nicht.
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[Dieser Beitrag wurde 1 mal editiert; zum letzten Mal von Schalentier am 17.02.2005 20:22]
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| | Zitat von Satin
Du kannst ja mal versuchen auf gottwein.de ins Griechisch-Forum zu kommen. | |
unternehmen gescheitert 
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| | Zitat von Schalentier
| | Zitat von eupesco
Ist also nicht instantan auf der "anderen Seite", sondern immer noch an die absolute Geschwindigkeit gebunden ? | |
Erst wenn du es beobachtest, kannst du sagen, daß es ab jetzt auf der anderen Seite ist. Es scheint sich innerhalb der Barriere allerdings mit unendlich hoher Geschwindigkeit bewegen. Allerdings ist alles im Rahmen der Unschärferelation noch im grünen Bereich.
Man kann dadurch keine Information mit Überlichtgeschwindigkeit transportieren. Das zu verstehen, ist allerdings etwas komplizierter.
€: Das ist etwa so wie mit den verschränkten Teilchen, da geht's auch nicht. | |
Ich habe auch vor physik zu studieren.
Du kannst also ruhig versuchen es zu erklären. Und auch wenn ich es wahrscheinlich nicht verstehen werde, hab ich immer noch spaß dabei, so faszinierte Dinge zu lesen. 
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Mal eine andere Frage, ich wollt keinen eigenen Thread aufmachen.
Kennt jemand Internetseiten oder Bilder von "Wo ist Walda/Walther?"
Der Typ wo immer in so einem rot-weiß-gestreiften Ding rumrennt.
Bräuchte alles was ihr habt von dem.
Unsere Lehrer läuft nämlich so rum, und das wollen wir an die Tafeln proezieren.
Danke im Voraus.
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Ab jetzt mag ich den StarWars-Hyperraum gleich doppelt so gerne...
Gab es da nicht erst letztens diesen Spiegel-Artikel oder so, in dem geschrieben wurde, wie Physiker unser Universum als irgendwas secheckig höherdimensionales beschrieben haben?
You need a reason to live! You don't need excuses to die!
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Ups, ich meinte eigentlich den Abschnitt untendran, "Superluminares Tunneln", ist mir gar nicht aufgefallen, daß da ein Anker dran war.
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Wie heißt "Probiers mal mit Gemütlichkeit" aus dem Dschungelbuch auf Englisch?
 Ball
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| | Zitat von Ball
Wie heißt "Probiers mal mit Gemütlichkeit" aus dem Dschungelbuch auf Englisch?
Ball | |
Look for the bare necessities (Look for the bear necessities)
Look for the bare necessities
The simple bare necessities
Forget about your worries and your strife
I mean the bare necessities
Old Mother Nature's recipes
That brings the bare necessities of life
Wherever I wander, wherever I roam
I couldn't be fonder of my big home
The bees are buzzin' in the tree
To make some honey just for me
When you look under the rocks and plants
And take a glance at the fancy ants
Then maybe try a few
The bare necessities of life will come to you
They'll come to you!
Look for the bare necessities
The simple bare necessities
Forget about your worries and your strife
I mean the bare necessities
That's why a bear can rest at ease
With just the bare necessities of life
Now when you pick a pawpaw
Or a prickly pear
And you prick a raw paw
Next time beware
Don't pick the prickly pear by the paw
When you pick a pear
Try to use the claw
But you don't need to use the claw
When you pick a pear of the big pawpaw
Have I given you a clue ?
The bare necessities of life will come to you
They'll come to you!
So just try and relax, yeah cool it
Fall apart in my backyard
'Cause let me tell you something little britches
If you act like that bee acts, uh uh
You're working too hard
And don't spend your time lookin' around
For something you want that can't be found
When you find out you can live without it
And go along not thinkin' about it
I'll tell you something true
The bare necessities of life will come to you
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| | Zitat von Schalentier
Genau das haben die Unendlichkeiten so an sich. | |
Sorry, aber das sagt irgendwie nix aus.
Mir ist ja klar, dass man irgendeinen Begriff dafür braucht, wenn etwas immer größer wird, ohne dass ein Endwert absehbar ist. Dann sagt man halt, dass es gegen Unendlich strebt.
Aber mehr ist es eben nicht. Es ist einfach ein Ausdruck für etwas, das es nicht gibt.
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Man kann nicht davon reden, ob sie sich im Unendlichen schneiden. Kann man nicht sagen, weil das Unendliche ist einfach ein nicht definierter Bereich.
Baut man sich eine Menge, in der die Unendlichkeit eine gültig ist, dann geht das schon. (Bevor jetzt einer anfängt: Damit das geht, muß man viele Einschränkungen machen und angepaßte Rechenregeln verwendet, die Zahl "unendlich" läßt sich nicht ohne weiteres zu den reellen Zahlen hinzufügen) | |
Das meine ich. Es gibt kein "Unendlich". Klar kann man sich mit mathematischen Tricks helfen, indem man eine "Menge" oder einen "Raum" konstruiert, wobei man sich dann seine Definitionen so setzt, wie man sie gerade braucht.
Das ist aber eine ergebnisorientierte Lösung, was ja eigentlich sinnlos ist. Ich weiß, was ich rauskriegen will, und setze einfach alles so, dass es passt. Unsinn.
Das hat nichts mehr mit der Realität zu tun, sondern ist reine Gedankenspielerei.
Bleibe ich mit meinen Gedanken im Rahmen der Realität, kann ich an den Geraden immer weiter entlang laufen, und sie bleiben immer parallel. Ich komme nie in der Unendlichkeit an.
Unendlichkeit existiert nicht, also können sich die Geraden dort auch nicht schneiden. Sonst müssten sie an irgendeinem Punkt die Realität verlassen und in einen theoretischen Raum eintreten, in dem die "Umweltbedingungen" völlig andere sind.
Hier hört für mich der praktische Nutzen der Mathematik auf. Mathematik ist die Sprache der Natur. Wenn man mit Mathematik unnatürliche Mengen oder Räume konstruiert, wird die Mathematik pervertiert.
Gruß,
André
P.S.: Warum ist eigentlich auf dieser Seite die Formatierung gesprengt? Ist doch gar kein Bild da...
P.P.S: Ah, ich seh's. Wraith is Schuld! Hat den überlangen Link gequotet!  Jetzt ist aber Schluss mit Edit.
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[Dieser Beitrag wurde 3 mal editiert; zum letzten Mal von AngusG am 17.02.2005 22:35]
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Bei mir ist sie ganz normal, die Seite.
Und nur, weil DU keinen Sinn darin siehst, und keine Nützlichkeit, heißt das nicht, dass sie nicht da wäre.
Oder schonmal gefragt, wofür ein n-dimensionaler Vektorraum gut sein soll, bei n>3? Oder was Tensoren sollen? Oder warum man sich Quaternionen und komplexe Zahlen schafft?
Siehst du sie? Nö. Auch Unendlich siehst du nicht.
Aber die Naturwissenschaften benutzen beides ausgiebig und ziehen ausgiebig Nutzen daraus.
You need a reason to live! You don't need excuses to die!
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Stichwort "komplexe Zahlen"
Vorkurs Physik:
Gibt es die Wurzel von -1?
Warum ncht?
Sie ist nützlich, also gibt es sie.
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Das Gleiche geht übrigens mit negativen zahlen, ist vlltsogar noch anschaulicher.
Gibt es -1?
Ja, gibt es. Aber auch nur als Konstrukt der mathematik.
Es ist nützlich, also existiert es.
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| | Zitat von AngusG
| | Zitat von Schalentier
Genau das haben die Unendlichkeiten so an sich. | |
Sorry, aber das sagt irgendwie nix aus. | |
So war das nicht gemeint. Ich wollte damit sagen, daß wenn man von Unendlichkeiten redet, man implizit von einem Grenzübergang und/oder einer divergierenden Funktion oder sowas redet. In keinem Fall aber von einer Zahl.
| | | Hier hört für mich der praktische Nutzen der Mathematik auf. Mathematik ist die Sprache der Natur. Wenn man mit Mathematik unnatürliche Mengen oder Räume konstruiert, wird die Mathematik pervertiert. | |
In der Physik ist das unbrauchbar. In der Mathematik nicht unbedingt. Da gibt's tolle Mengen, tolle Operationen und tolle Eigenschaften. Ob die von mir genannte Menge mit der unendlich einen praktischen Nutzen hat, kann ich jetzt nicht sagen, ich glaube eher nicht. Aber man kann mit Unendlichkeiten tolle Sachen machen. z.B. in der komplexen Zahlenebene um Polstellen herumintegrieren. Ok, das hat mit dem Thema jetzt nix zu tun.
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| | Zitat von Satin
Stichwort "komplexe Zahlen"
Vorkurs Physik:
Gibt es die Wurzel von -1?
Warum ncht?
Sie ist nützlich, also gibt es sie. | |
Das ist mir bekannt. Allerdings bleibt i im Ergebnis nie stehen. Es ist eine Hilfskonstruktion, die sich irgendwann wieder rauskürzt oder sonstwie verschwindet.
Mit dem Ergebnis kann man dann real arbeiten.
Aber die Aussage "Parallele Geraden treffen sich in der Unendlichkeit" macht genauso viel Sinn wie "Die Spule hat eine Impedanz von 50i Ohm", nämlich keinen.
Gruß,
André
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| | Zitat von AngusG
Das ist mir bekannt. Allerdings bleibt i im Ergebnis nie stehen. | |
Nein? Nicht?
Bei dem Post da oben müsst ihr euch ab und zu mal Großbuchstaben denken, tschuldigung.
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[Dieser Beitrag wurde 1 mal editiert; zum letzten Mal von Satin am 17.02.2005 22:49]
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| | Zitat von Wraith of Seth
Oder schonmal gefragt, wofür ein n-dimensionaler Vektorraum gut sein soll, bei n>3? Oder was Tensoren sollen? Oder warum man sich Quaternionen und komplexe Zahlen schafft?
Siehst du sie? Nö. Auch Unendlich siehst du nicht.
Aber die Naturwissenschaften benutzen beides ausgiebig und ziehen ausgiebig Nutzen daraus. | |
Vektoren mit n > 3 müssen ja nicht gleich einen Punkt im Raum beschreiben. Es sind einfach Zahlen.
Man kann einen quantenmechanischen Eigenvektor auch aus einem unendlich-dimensionalen Vektorraum konstruieren. z.B. könnte man als Index die natürlichen oder gar reellen Zahlen nehmen. Bzw. als Index 3 reelle Zahlen für die drei Raumdimensionen. Oder Impulse in drei Dimensionen. Oder relativistisch, mit der Zeit dazu. Wie man lustig ist.
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| | Zitat von Satin
| | Zitat von AngusG
Das ist mir bekannt. Allerdings bleibt i im Ergebnis nie stehen. | |
Nein? Nicht?
Bei dem Post da oben müsst ihr euch ab und zu mal Großbuchstaben denken, tschuldigung. | |
Wo bleibt denn i mal stehen, so dass man es einer praktischen Anwendung zuführen kann?
Ich hatte nur drei Semester E-Technik mit der zugehörigen Mathematik. Bis dahin ist mir kein reales Bauteil mit einem i in seiner Eigenschaft untergekommen.
Wenn wir mit komplexen Zahlen gerechnet haben, z.B. für Schwingkreise, hat man i zwar zur Berechnung benutzt, aber am Ende blieb es niemals übrig, weil i keinen realistischen Wert beschreibt, der technisch umsetzbar wäre.
Was meinst du mit Großbuchstaben? Hab ich was verpasst? 
Edith: Ah, gesehen. Fällt mir schon gar nicht mehr auf. Hab mich so an das Klein-ohne-Satzzeichen-und-total-falsch-Geschreibe hier gewöhnt, dass mich das beinahe nicht mehr stört.
Gruß,
André
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[Dieser Beitrag wurde 1 mal editiert; zum letzten Mal von AngusG am 17.02.2005 22:58]
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| | Zitat von AngusG
Allerdings bleibt i im Ergebnis nie stehen. Es ist eine Hilfskonstruktion, die sich irgendwann wieder rauskürzt oder sonstwie verschwindet.
Mit dem Ergebnis kann man dann real arbeiten. | |
Von was redest du jetzt? Muß doch nicht sein.
Wenn du reelle Ergebnisse suchst, natürlich müssen dann am Schluß die imaginären Anteile verschwunden sein.
Was aber, wenn das nicht der Fall sein muß?
In der Quantenmechanik kann die Wellenfunktion eine Phase haben. D.h. du kannst sie im komplexen Raum drehen. Die Observablen sind zwar reell, dennoch ist die Phase vorhanden, und die ist kein Hilfskonstrukt, ohne sie kann man die Wellenfunktion nicht beschreiben.
Man braucht in der Quantenmechanik einfach einen Raum, der mehr Operationen ermöglicht.
So wie die natürlichen Zahlen inkomplett sind (1/2 ist nicht in der Mange) oder die positiven Zahlen (2-3) oder die rationalen (Wurzel(2)), sind die reellen Zahlen unvollständig (Wurzel(-1)).
Die komplexen Zahlen definieren einen Raum, in der bestimmte Operationen garantiert definiert sind.
Da ist das auch kein Trick mehr, sondern elementar.
Die Wellenfunktion läßt sich relativistisch sogar nur mit Vierertensoren von komplexen Zahlen beschreiben.
Da ist das auch kein Trick, es geht nicht anders.
Viele Sachen, die du beschreibst, gehen mit komplexen Zahlen einfacher. Es geht aber auch so. So fallen die imaginären Zahlen vorne und hinten raus. Das muß aber so nicht sein. Wenn du etwas erwartest, dann bekommst du das auch. Es kommt alles nur auf die Forderungen an, die du hast.
Zu behaupten, alles andere als reelle Zahlen seien Schmu ist eine erbärmliche Ansicht.
€: Du studierst Elektrotechnik, und glaubst Ahnung von Zahlenräumen zu haben? Auweia... 
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[Dieser Beitrag wurde 1 mal editiert; zum letzten Mal von Schalentier am 17.02.2005 23:04]
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OK, langsam wird's mir zu hoch.
Allerdings gibt es einen großen Unterschied zwischen der Unendlichkeit und komplexen Zahlen.
Es macht Sinn, dass man komplexe Zahlen gebrauchen kann, um bestimmte Gegebenheiten zu beschreiben, und ich wehre mich auch nicht gegen deren Anwendung (hab ich ja schließlich selbst auch benutzt).
Wie du sagst, braucht man komplexe Zahlen, um die "Lücken" in der Menge der reellen Zahlen zu füllen, mit denen man sonst entweder gar nicht oder nur ganz schwer rechnen kann.
Man hat sich dann halt die komplexen Zahlen "zurechtdefiniert" und festgestellt, dass man damit rechnen und auch brauchbare Ergebnisse erhalten kann.
"Unendlichkeit" füllt aber keine Lücke, weil da keine Lücke ist. Es ist ein Ausdruck für etwas, das hinter einer Grenze liegt, die nicht existiert. Wenn man mit Unendlichkeit rechnen wollte, müsste man es halt definieren (z.B. irgendetwas durch Null ist Unendlich, aber das macht ja keiner). Das hätte zur Folge, dass ich auch zwei Unendlichkeiten voneinander subtrahieren oder Unendlichkeiten kürzen könnte. Das funktioniert aber logisch nicht, weil Unendlichkeit kein fester Wert ist, sondern selbst wieder eine Menge.
Wie auch immer. Über unvorstellbare Dinge kann man immer toll diskutieren. Ich habe da meine Ansicht, und wusste ja schon vorhin, dass das Kritik heraufbeschwört. Zu einem Ergebnis werden wir nicht kommen.
Gruß,
André
€: Nein, ich studiere nicht E-Technik. Ich hab nach drei Semestern aufgehört und habe dann Jura studiert. Ich hatte aber in den drei Semestern die gleiche Mathematik, wie Mathe-Studenten (war die gleiche Vorlesung). Deswegen habe ich, auch in E-Technik als praktische Anwendung, mit komplexen Zahlen zu tun gehabt. Wie ich sagte, der Rest wird mir jetzt zu hoch. Ich hab die komplexen Zahlen aber nicht ins Spiel gebracht. Und jetzt geh ich schlafen. Zur Not können wir morgen weitermachen.
Ach so, noch was: Ich glaube nicht, dass wir Quantenmechanik und klassische Physik so ohne Weiteres miteinander vergleichen können, oder? Soviel weiß sogar ich noch, wenn sich nicht in den letzten Jahren massiv was geändert hat.
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[Dieser Beitrag wurde 1 mal editiert; zum letzten Mal von AngusG am 17.02.2005 23:41]
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Unendlich ist sicherlich keine Menge. Und selbst wenn man sich unendlich als Wert definiert schließt man sehr gezielt bestimmte Rechenoperationen aus. Es ergibt sonst nur Murcks.
Und ich behaupte, dass einem Unendlich sehr wohl Dinge aussagen kann: Wenn etwas gegen unendlich STREBT gibt das keinen festen Zustand an. Wenn beispielsweise t gegen unendlich strebt, kann das verdammt viel heißen. Wenn t unendlich wird, heißt es: Das Ereignis zu t tritt nicht ein. Punkt. Ende. Und soweit ich weiß, sind Singularitäten in Feldern auch keine Seltenheit - wenn da keine Deltafunktion passt, muss was anderes hin.
Und wie Schale schon sagte: Es gibt Fälle in denen unendlich-dimensionale Vektorräume hermüssen. Sind das jetzt nur noch n Basen bei denen n gegen unendlich strebt? Oder einfach unendlich Basen? Für mich sind das zwei unterschiedliche Aussagen.
You need a reason to live! You don't need excuses to die!
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@AngusG:
Ja, ich widerspreche dir doch gar nicht, was regst du dich denn die ganze Zeit auf?
In der Physik ist es leider oft so, daß was unendliches rauskommt, obwohl man eigentlich was brauchbares haben möchte. Wenn das passiert, ist meist die Theroie lückenhaft oder man trickst anderweitig außenrum.
Divergenzen und ihre Vermeidung sind auch ein großes Thema in der Mathematik, z.B. bei manchen Reihen oder so.
Fakt bei allen ist, daß Ausdrücke wie 1/0 einem jedesmal den Spaß verderben.
PS: Schonmal mit Gaulois Field Algebra gespielt?
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[Dieser Beitrag wurde 1 mal editiert; zum letzten Mal von Schalentier am 17.02.2005 23:39]
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| | Zitat von Schalentier
Fakt bei allen ist, daß Ausdrücke wie 1/0 einem jedesmal den Spaß verderben. | |
Gib's zu. Als Naturwissenschaftler hast du gerade DANN deinen Spaß, wenn es seltsam wird. Ich kenne unsere Zunft doch.
Es wird viel Arbeit und Arbeit verschreckt uns - aber es verdirbt uns sicherlich NICHT den Spaß...:evil:
You need a reason to live! You don't need excuses to die!
€DIT:
Was für Algebra?
Hey, nein. Ich bin im halbten Semester, da habe ich sowas noch nicht...
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[Dieser Beitrag wurde 1 mal editiert; zum letzten Mal von Wraith of Seth am 17.02.2005 23:41]
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| | Zitat von Wraith of Seth
| | Zitat von Schalentier
Fakt bei allen ist, daß Ausdrücke wie 1/0 einem jedesmal den Spaß verderben. | |
Gib's zu. Als Naturwissenschaftler hast du gerade DANN deinen Spaß, wenn es seltsam wird. | |
Unendlichkeiten sind aber nicht seltsam, die sind nervig.
Rechne mal die Madelung-Konstante in einem dreidimensionalen Gitter aus. 
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| | Zitat von Wraith of Seth
Was für Algebra? | |
Das macht man nicht in Physik. In Mathe oder Informatik vielleicht. Hat in der Kryptographie Anwendung.
Ich bin ja selber nicht so der Held auf dem Gebiet, aber das ist ziemlich lustig.
Also was braucht man? Man braucht einen endlichen Körper.
Ein Körper ist das, was wir bisher aus der Mathematik kennen. Eine Zahlenmenge, und darauf definierte Operationen mit bestimmten Eigenschaften. Die Addition und die Multiplikation bilden für sich jeweils eine Gruppe.
Eine Gruppe hat folgende Eigenschaften (die Operation taufe ich jetzt mal allgemein X):
- Abgeschlossenheit:
Wenn man zwei Elemente a und b aus der Menge hat, muß a X b wieder aus der Menge sein.
- Assoziativität:
Für alle a, b und c aus der Menge gilt (a X b) X c = a X (b X c)
- Neutrales Element. Es gibt ein Element q aus der Menge, für das gilt: a X q = q X a = a
- Inverses Element: Zu jedem a gibt es ein inverses Element a^-1, so daß a^-1 X a = a X a^-1 = q
Mit Gruppen an sich kann man schon eine Menge bauen. Mehr als den meisten klar ist. Z.b. ist die Addition reeller Zahlen eine Gruppe (neutrales Element ist die Null, inverse Elemente wären die negativen Zahlen). Die Multiplikation (ohne die Null) für sich bildet auch eine Gruppe (neutrales Element ist die Eins, inverse Elemente sind die Kehrwerte).
D.h. Gruppen sind alle Möglichen Operationen und zugehörigen Mengen, für die obige Dinge gelten.
Für kommutative Gruppen gilt noch a X b = b X a.
Ein Körper besteht nun aus einer Menge, auf der zwei Operationen definiert sind: Die Addition und Multiplikation (ohne die 0). Die Multiplikation mit 0 soll auch immer 0 geben. Diese bilden jeweils für sich eine kommutative Gruppe (siehe oben). Zusätzlich gilt die Distributivität: Für a, b, c aus der Menge gilt a * (b + c) = a * b + a * c.
Die uns bekannten reellen Zahlen bilden einen Körper. Alle anderen bekannten Operationen, wie z.B. das Potenzieren lassen sich aus Addition und Multiplikation konstruieren. Addition und Multiplikation sind allerdings elementar.
Ok, was ist ein endlicher Körper?
Endlich heißt, daß die Menge der Elemente nicht unendlich ist, sondern eben eine endliche Menge enthält. Nun, die klassischen Zahlen bzw. Operationen bilden nun keinen Körper mehr, denn offenbar ist die Abgeschlossenheit verletzt.
Wenn die Menge nur die Element 0, 1, 2 und 3 enthält, ist offenbar 2 + 2 oder 2 * 2 nicht definiert.
Bleiben wir mal bei 0, 1, 2, 3, ich definiere mal den Körper GF(4). (4 steht für 4 Elemente)
Wenn man die Addition ein wenig umdefiniert, geht das schon.
Ich will jetzt hier nicht die ganze Mathematik wiederholen (die ist nämlich saukomplex, hat mit Primzahlen, Ringen, irreduziblen Polynomen, jada jada jada, eigenes Fachgebiet).
Man kann z.B. die Addition definieren als das, was man aus der Informatik als bitweises XOR kennt. Also
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| Code: |
+|0123
-+----
0|0123
1|1032
2|2301
3|3210
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Offenbar ist dann die Addition eine Gruppe. Wir erfüllen alles, was gefordert ist. Neutrales Element 0, inverses Element ist das Element selbst, Additionen geben immer ein existierendes Element.
Ok, jetzt wird's ein wenig wirr wie die Multiplikation definiert ist.
Multiplikation mit 0 muß immer 0 ergeben, Multiplikation mit der 1 muß immer das identische Element ergeben. Das steht fest. Wie ist's für die anderen? Wenn man die Multiplikation mit 2 definieren kann, kann man durch das Distributivgesetz den gesamten Rest der Multiplikation auch definieren.
Weil 1 + 1 ist hier eben nicht gleich 2, wie wir es von den natürlichen Zahlen kennen.
Und zwar steckt hinter der Mathematik ein irreduzibles Polynom (muß eine Primzahl sein), ich wähle dafür mal die 3. Das bedeutet, daß sich die Multiplikation mit der 2 wie folgt definieren läßt:
Man mulipliziert "klassisch" mit der zwei und falls das Ergebnis größer ist als 3, dann subtrahiert man klassisch 4 und addiert dann in unserer Definition (also XORt) dann das irreduzible Polynom (die 3) obendrauf.
Also 2*2 = 3 und 2*3 = 1
Wie ergibt sich nun die 3*3? 3*3 = 3*(2+1) = 3*2 + 3*1 = 1 + 3 = 2. Fein.
In Tabellendarstellung:
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| Code: |
*|0123
-+----
0|0000
1|0123
2|0231
3|0312
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Damit kann man auch die inversen Elemente der Multiplikation finden: 1^-1 = 1, 2^-1 = 3, 3^-1 = 2.
Man kann damit mal rumrechnen, die Forderungen sind stets erfüllt.
Durch die inversen Zahlen ist auch die Division gegeben. 2/2 = 2 * 2^-1 = 2 * 3 = 1. paßt. 2/3 = 2 * 3^-1 = 2 * 2 = 3. Kontrolle 3*3 = 2. Paßt.
Jetzt kann man sich aus Multiplikation eine Exponentiation bauen. a^m = b. a und b sind aus unserer GF-Menge, m ist aber eine natürliche Zahl(!). Komplett innerhalb unserer Menge können wir die Exponentiation nicht definieren.
Das bedeutet dann z.B. daß a^3 = a*a*a
Hier kann man wieder mit bekannten Rechenregeln vereinfachen, z.B. wenn man alle Zweierpotenzen vorberechnet.
Das interessante daran ist jetzt, daß in der GF-Algebra mit n Elementen immer folgendes gilt:
- a*m = b erzeugt für festes m sämtliche Elemente der Menge.
(Bsp.: 0*2 = 0, 1*2 = 2, 2*2 = 3, 3*2 = 1)
- Für bestimme a (die man Generatoren nennt) erzeugt a^m = b für alle m von 0..(n-2) unterschiedliche b.
(Bsp.: 2^0 = 1, 2^1 = 2, 2^2 = 3)
- a^(n-1) = 1
Das ist relativ bemerkenswert. Das heißt, daß für alle m zwischen 1 und n-1 a^m unterschiedliche Wertereihen produziert. nur für m = n-1 verhält es sich wie für m = 0.
(ausprobieren: 2^3 = 2*2*2 = 3*2 = 1, 3^3 = 3*3*3 = 2*3 = 1)
Das wiederholt sich dann: a^(m+[n-1]) = a^(n-1) * a^m = 1 * a^m = a^m.
In der Kryptographie kann man damit die Bits von Date auf verschiedene Weise komplett "verwirbeln", aber es ist mathematisch garantiert, daß es auch wieder rückwärts geht.
Auch praktisch. RAID-Systeme mit mehr als einer redundanten Platte.
RAID5 ist einfach. Man hat n Platten und 1 redundante Platte. Dort ist die sogenannte Parität gespeichert. Indem man einfach alle Bits XORt und dann dort speichert. In unserer GF-Darstellung:
P = D0 + D1 + D2 + D3 (Die Addition war ja ein XOR)
Fällt die Platte 2 aus, kann man sagen: D2 = P - D0 - D1 = P + D0 + D1 (da bei uns a = -a).
Supi.
Was ist, wenn aber zwei Platten ausfallen? Was dann?
Mit simplem XOR hat man da keine Chance mehr. Man kann aber die GF-Algebra dazuziehen.
Und zwar speicher man auf der ersten Platte wieder P = D0 + D1 + D2, aber af der zweiten:
Q = g^0 * D0 + g^1 * D1 + g^2 * D2
dabei muß g irgendein Generator sein. Die 2 tut's z.B. in unserem Beispiel.
2^0 = 1, 2^1 = 2, 2^2 = 3
Also Q = D0 + 2 * D1 + 3 * D2
Wenn jetzt die Platte P ausgefallen ist, und z.B. die Platte 2, dann kann man D2 wie folgt berechnen:
Q/3 = D0/3 + 2/3 * D1 + D2 -> D2
= Q/3 - D0/3 - 2/3 D1
= 3^-1 * Q + 3^-1 * D0 + 2 * 3^-1 * D1
= 2 * Q + 2 * D0 + 3 * D1
Man kann auch ein Ergebnis aus P und Q bestimmen, wenn zwei Datenplatten ausgefallen sind.
Wenn man die Anzahl der Elemente der Menge vergrößert, kann man die Anzahl an Platten erhöhen. Man kann soviele redundante Platten machen, wie man unabhängige Generatoren findet.
Soviel zu "alles andere als reelle Zahlen seien unbrauchbar".
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[Dieser Beitrag wurde 1 mal editiert; zum letzten Mal von Schalentier am 18.02.2005 0:53]
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Vor kurzem hat ja auch einer rausgefunden, daß AES (der kryptographische Cipher) sich in GF-Algebra als einfaches (wenn auch langes) Polynom ausdrücken läßt.
Glücklicherweise kann man in GF-Algebra Logarithmen (also die Umkehrung der Exponentiation) nicht berechnen, da muß man probieren. Ansonsten wäre AES (und vermutlich auch so einiger anderer Cipher) geknackt.
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Huiii, cool. Und ich konnte beruhigt feststellen, dass ich in der kommenden Ana I Klausur wenigstens die Körperaxiome können werde...
Aber das sieht ja echt mal klasse aus. Sowas macht mir Spaß.
You need a reason to live! You don't need excuses to die!
€DIT:
Auch wenn meine RAID-Kenntnisse noch zu lückenhaft sind, um zu so später Stunde den letzten Teil noch voll mitzubekommen...
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[Dieser Beitrag wurde 1 mal editiert; zum letzten Mal von Wraith of Seth am 18.02.2005 1:06]
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| | Zitat von Wraith of Seth
Aber das sieht ja echt mal klasse aus. Sowas macht mir Spaß. | |
Ja. Nette Zahlenspielerei. Vor allem für Computer-Interessierte. Die ganzen Regeln und Eigenschaften von solch einer Algebra sind allerdings unmwerfend. Das ist eine eigene Wissenschaft. Deshalb ist Kryptographie auch so kompliziert...
Aber so einfache Anwendungsbeispiele wir die Sache mit dem RAID6 finde ich echt cool.
Mit zwei Platte (und zwei redundanten) ist das cool:
P = D0 + D1
Q = D0 + 2 * D1
Also man nimmt immer zwei Bits von jeder Platte und kann daraus P und Q (auch jeweils zwei Bit groß) berechnen. Kann man natürlich auch gleich mit ganzen Bytes machen (wie üblicherweise getan), aber so geht das Beispiel einfacher.
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| Code: |
P|0123 Q|0123 -> D1
-+---- -+----
0|0123 0|0123
1|1032 2|2301
2|2301 3|3210
3|3210 1|1032
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v D2
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Jetzt kann man alle Kombinationen durchprobieren. Egal, welche zwei Platten ausfallen, du kannst immer alles zurückverfolgen.
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| Thema: Erklärbar |
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